sexta-feira, 13 de junho de 2008
Geometria Analítica: Reta
O estudo da reta na geometria analítica não está relacionado apenas a escrita das equações das retas bem como a posição entre ponto e reta e entre duas retas. A equação da reta mais importante é a geral e quando um problema não diz que equação deseja então devemos escrever a equação geral: ax + by + c = 0, com a e b reais e não nulos simultaneamente e cujo coeficiente angular é dado por m = –a / b.
Um ponto está ou não em uma reta, caso esteja, dizemos que o ponto pertence a reta e isto é observado simplesmente substituindo as coordenadas do ponto na equação da reta, se com a substituição a igualdade ficar verdadeira então o ponto pertence, caso contrário, o ponto não pertence.
Equações da Reta
Da equação geral da reta ax + by + c = 0, obtemos a equação reduzida da reta y = mx + k, onde m é o coeficiente angular da reta e k uma constante real qualquer. A equação y – yo = m (x – xo) onde (xo,yo) é um ponto conhecido e m é o coeficiente angular da reta, é chamada equação fundamental da reta e a equação segmentaria: x / p + y / q = 1, onde p e q são os valores onde a reta intercepta os respectivos eixos x e y.
Posição Relativa entre duas Retas
Se duas retas são paralelas seus coeficientes angulares são iguais, isto é, se r // s então mr = ms, caso contrário, as retas são ditas concorrentes, isto é, r × s; e duas retas concorrentes em especial são ditas perpendiculares se o produto de seus coeficientes angulares for igual a –1, ou seja, se r ^ s então, mr . ms = –1.
Exercícios Resolvidos
— Escreva a equação da reta r que passa pelo ponto A(1,2) e tem coeficiente angular m = 2/3.
Como conhecemos um ponto e o coeficiente angular escrevemos a equação fundamental da reta, isto é, y – 2 = 2/3 (x – 1) e a partir dela escrevemos a equação geral, 3y – 6 = 2(x – 1) ou 3y – 6 = 2x – 2 daí, a reta pedida é r: 2x – 3y + 4 = 0.
— Encontre a distância entre as retas r: 3x – 4y + 2 = 0 e s: 6x – 8y = 3.
Encontrando os coeficientes angulares das retas r e s, mr = –3/–4 = 3/4 e ms = –6/–8 = 3/4 e portanto, r // s (r e s são paralelas). Para encontrar a distância entre as duas retas, obtemos um ponto em uma delas e calculamos a distância desse ponto para a outra reta. Assim, considerando na reta r, por exemplo, x = 2 temos 3.2 – 4y + 2 = 0 ou 8 = 4y ou y = 2. Então, o ponto (2,2) está na reta r daí, usando a fórmula da distância entre ponto e reta:
dPr = , daí, dPs = 7/10.
— Encontre o ponto de intersecção entre as retas r: x + y – 2 = 0 e s: x – y – 4 = 0.
O ponto de encontro ou de intersecção entre duas retas é o ponto comum, isto é, o ponto que pertence as duas retas, basta resolver o sistema formado pelas duas equações que encontramos esse ponto. Assim, por exemplo, resolvendo por comparação temos y = 2 – x, na primeira e, y = x – 4, na segunda. Daí, 2 – x = x – 4 ou 6 = 2x ou x = 3 e como y = x – 4, então, y = –1. Logo, o ponto (3,–1) é o ponto de encontro.
O estudo da reta na geometria analítica não está relacionado apenas a escrita das equações das retas bem como a posição entre ponto e reta e entre duas retas. A equação da reta mais importante é a geral e quando um problema não diz que equação deseja então devemos escrever a equação geral: ax + by + c = 0, com a e b reais e não nulos simultaneamente e cujo coeficiente angular é dado por m = –a / b.
Um ponto está ou não em uma reta, caso esteja, dizemos que o ponto pertence a reta e isto é observado simplesmente substituindo as coordenadas do ponto na equação da reta, se com a substituição a igualdade ficar verdadeira então o ponto pertence, caso contrário, o ponto não pertence.
Equações da Reta
Da equação geral da reta ax + by + c = 0, obtemos a equação reduzida da reta y = mx + k, onde m é o coeficiente angular da reta e k uma constante real qualquer. A equação y – yo = m (x – xo) onde (xo,yo) é um ponto conhecido e m é o coeficiente angular da reta, é chamada equação fundamental da reta e a equação segmentaria: x / p + y / q = 1, onde p e q são os valores onde a reta intercepta os respectivos eixos x e y.
Posição Relativa entre duas Retas
Se duas retas são paralelas seus coeficientes angulares são iguais, isto é, se r // s então mr = ms, caso contrário, as retas são ditas concorrentes, isto é, r × s; e duas retas concorrentes em especial são ditas perpendiculares se o produto de seus coeficientes angulares for igual a –1, ou seja, se r ^ s então, mr . ms = –1.
Exercícios Resolvidos
— Escreva a equação da reta r que passa pelo ponto A(1,2) e tem coeficiente angular m = 2/3.
Como conhecemos um ponto e o coeficiente angular escrevemos a equação fundamental da reta, isto é, y – 2 = 2/3 (x – 1) e a partir dela escrevemos a equação geral, 3y – 6 = 2(x – 1) ou 3y – 6 = 2x – 2 daí, a reta pedida é r: 2x – 3y + 4 = 0.
— Encontre a distância entre as retas r: 3x – 4y + 2 = 0 e s: 6x – 8y = 3.
Encontrando os coeficientes angulares das retas r e s, mr = –3/–4 = 3/4 e ms = –6/–8 = 3/4 e portanto, r // s (r e s são paralelas). Para encontrar a distância entre as duas retas, obtemos um ponto em uma delas e calculamos a distância desse ponto para a outra reta. Assim, considerando na reta r, por exemplo, x = 2 temos 3.2 – 4y + 2 = 0 ou 8 = 4y ou y = 2. Então, o ponto (2,2) está na reta r daí, usando a fórmula da distância entre ponto e reta:
dPr = , daí, dPs = 7/10.
— Encontre o ponto de intersecção entre as retas r: x + y – 2 = 0 e s: x – y – 4 = 0.
O ponto de encontro ou de intersecção entre duas retas é o ponto comum, isto é, o ponto que pertence as duas retas, basta resolver o sistema formado pelas duas equações que encontramos esse ponto. Assim, por exemplo, resolvendo por comparação temos y = 2 – x, na primeira e, y = x – 4, na segunda. Daí, 2 – x = x – 4 ou 6 = 2x ou x = 3 e como y = x – 4, então, y = –1. Logo, o ponto (3,–1) é o ponto de encontro.
Nossa equipe
Nossa equipe e composta por:
Vanessa, Valdelino, Euclenis, Hugo, Gildeane, Carlos, Neto, Carles, Luciana,
Eneida, Alan, Agnaldo
Hoje o grande dia
Hoje e grande dia esperado por tadas as equipes
Nossas equipe estamos nos despedindo de vocês foi muito bom participar da ginga, esperamos obter um bom resultado, mais não obtemos não tenhe nenhum problema porque o mais importante foi competir e aprender cada vez mais e nos divertir ok.
beijão de toda o menbros da nossa equipe
O que achamos do projento
Nois achamos muito bom, pois através deste projeto adquirimos mais conhecimento e compartilhamos com outros colegas, foi bom porque nois usamos nossa criatividade e o estudo em grupo e desenvolvemoso nosso raciocínio e o principal aprendemos e no mesmo tempo nos divertimos muito.
Mensagem para o professor
Ser não e da nada fácil precisa ter muita paciência, muita força de vontade para nós ensinar, as vezes somos muito ignorante com você mais depoi reconhecemos que você só quer nosso bem, e que no futuro nois possa nos tornar um pessoa melhor.
Obrigado por você existir na nossa vida, que Deus te proteja e te ilumini sempre esse são os votos da nossa equipe.
Assinar:
Postagens (Atom)
